Activités préparatoires sur les suites

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ACTIVITÉS PRÉPARATOIRES SUR LES SUITES

I) Formules explicites

On connaît les premiers termes de quelques suites. Conjecturer, dans chaque cas, une formule explicite

satisfaisante. (C'est-à-dire, une formule vérifiée par les premiers termes connus)

À l'aide des formules explicites obtenues, calculer, pour chacune des cinq suites ci-dessus, le terme d'indice 10 :

a10 = ? b10 = ? c10 = ? d10 = ? e10 = ?

II) Sens de variation d'une suite

On dit qu'une suite (un) est strictement croissante lorsque :

pour tout entier n : un < un+1

(pour tout entier n, le terme d'indice n est inférieur au terme d'indice n + 1)

1) Donner, selon vous, la définition d'une suite strictement décroissante.

2) a) Étudier, pour tout entier n, le signe de la différence an+1 - an.

Quel est le sens de variation de la suite (an) ?

b) Procéder de même pour les suites (cn), (dn) et (en)

c) Que peut-on dire de la suite (bn) ?

III) Suite majorée, minorée, bornée

On dit qu'une suite (un) est majorée lorsque il existe un réel M tel que :

pour tout entier n : un  M

1) Donner, selon vous, la définition d'une suite minorée, puis d'une suite bornée.

2) a) Démontrer que la suite (an) est minorée par 0. Est-elle majorée ?

b) Démontrer que la suite (bn) est bornée. (On précisera un majorant et un minorant)

c) Démontrer que la suite (cn) est majorée par 2.

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IV) Suite arithmétique

On dit qu'une suite (un) est arithmétique lorsque il existe un réel r tel que :

Pour tout entier n : un+1 = un + r

Le réel r s'appelle "la raison" de la suite arithmétique

Parmi les cinq suites ci-dessus, une seule est arithmétique. Dire laquelle et préciser sa raison r.

V) Suite géométrique

On dit qu'une suite (un) est géométrique lorsque il existe un réel q tel que :

Pour tout entier n : un+1 = qun

Le réel q s'appelle "la raison" de la suite géométrique

Parmi les cinq suites ci-dessus, une seule est géométrique. Dire laquelle et préciser sa raison q.

VI) Relation de récurrence

Est appelée ainsi, toute relation reliant un terme de la suite (généralement un+1) avec le (ou des) précédent(s).

Exemple : soit (un) la suite définie par u0 = 10 et la relation de récurrence un+1 = 2un - 5.

On a alors : u1 = 2u0 - 5 = 15 ; u2 = 2u1 - 5 = 25 ; u3 = 2u2 - 5 = 45 etc ...

Déterminer une relation de récurrence pour les suites (an), (cn), (dn) et (en)

VII) Calcul d'une somme de termes consécutifs d'une suite

On note (Sn) la suite définie par :

Sn = d1 + d2 + ... + dn.

1) Calculer S1, S2, S3 et S4.

2) Démontrer que : Sn = n2

VIII) Limite d'une suite

On dit qu'une suite (un) admet une limite l (ou converge vers l) si :

tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang N.

Dans le cas contraire, on dit que la suite (un) diverge.

Quelles conjectures peut-on faire concernant la convergence des suites (an), (bn), (cn), (dn) et (en).